题目内容

【题目】如图所示,四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,ECD的中点,PA⊥底面ABCDPA.

(1)证明:平面PBE⊥平面PAB

(2)求二面角ABEP的大小.

【答案】(1)见解析(2)60°

【解析】试题分析:(I)连接BD,由已知中四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°ECD的中点,PA⊥底面ABCD,我们可得BE⊥ABPA⊥BE,由线面垂直的判定定理可得BE⊥平面PAB,再由面面平行的判定定理可得平面PBE⊥平面PAB

II)由(I)知,BE⊥平面PAB,进而PB⊥BE,可得∠PBA是二面角A﹣BE﹣P的平面角.解Rt△PAB即可得到二面角A﹣BE﹣P的大小.

证明:(I)如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,

△BCD是等边三角形.因为ECD的中点,所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB

又因为PA⊥平面ABCDBE平面ABCD

所以PA⊥BE,而PA∩AB=A,因此 BE⊥平面PAB

BE平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB

解:(II)由(I)知,BE⊥平面PABPB平面PAB,所以PB⊥BE

AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A﹣BE﹣P的平面角.

Rt△PAB中,..

故二面角A﹣BE﹣P的大小为60°

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