题目内容
【题目】如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.
(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P的大小.
【答案】(1)见解析(2)60°
【解析】试题分析:(I)连接BD,由已知中四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,我们可得BE⊥AB,PA⊥BE,由线面垂直的判定定理可得BE⊥平面PAB,再由面面平行的判定定理可得平面PBE⊥平面PAB;
(II)由(I)知,BE⊥平面PAB,进而PB⊥BE,可得∠PBA是二面角A﹣BE﹣P的平面角.解Rt△PAB即可得到二面角A﹣BE﹣P的大小.
证明:(I)如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,
△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB,
又因为PA⊥平面ABCD,BE平面ABCD,
所以PA⊥BE,而PA∩AB=A,因此 BE⊥平面PAB.
又BE平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.
解:(II)由(I)知,BE⊥平面PAB,PB平面PAB,所以PB⊥BE.
又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A﹣BE﹣P的平面角.
在Rt△PAB中,..
故二面角A﹣BE﹣P的大小为60°.