Question

【题目】某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动，经市场调查和测算，该纪念品的年销售量 （单位：万件）与年促销费用 （单位：万元）之间满足 于 成反比例.若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件.已知加工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，没生产1万件纪念品另外需要投资32万元.当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等.（利润=收入－生产成本－促销费用）
（Ⅰ）请把该工厂2017年的年利润 （单位：万元）表示成促销费 （单位：万元）的函数；
（Ⅱ）试问：当2017年的促销费投入多少万元时，该工程的年利润最大？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设反比例系数为 （ ）.由题意有 .

又 时， ，所以 ， ，

则 与 的关系是 （ ），

依据题意，可知工厂生产 万件纪念品的生产成本为 万元，促销费用为 万元，则每件纪念品的定价为 元/件，

于是 ，进一步化简，得 （ ）.

因此工厂2017年的利润为 （ ）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， （ ） ，

当且仅当 ，即 时取等号，

所以当2017年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元.

【解析】(1)根据反比例函数的定义结合同意代入数值求出k的值，进而通过x表示出年利润y的代数式，对其化简整理即可得到函数式。(2)根据题意利用基本不等式求出最值即可。