Question

【题目】如图，在直角梯形中， 点是边的中点，将沿折起，使平面平面,连接得到如图所示的几何体.

（1）求证; 平面；

（2）若二面角的平面角的正切值为求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）.

【解析】试题分析：（I）由平面与名垂直的性质定理可得⊥平面. 由折叠前后均有⊥， ∩,可得⊥平面；(Ⅱ) 由（Ⅰ）可得二面角的平面角为∠，又依题意，可得，依次求得.，以下由两种解法：1.建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，求得平面的法向量和平面的法向量，则问题可求：2.利用相关的立体几何知识，证明二面角的平面角为，然后利用面几何知识求得二面角的余弦值为.

试题解析：

(Ⅰ) 因为平面⊥平面，平面平面，

又⊥，所以⊥平面.

因为平面，所以⊥.

又因为折叠前后均有⊥， ∩,

所以⊥平面.

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知⊥平面，所以二面角的平面角为∠.

又⊥平面， 平面，所以⊥.

依题意.

因为，所以.

设，则.

依题意△～△，所以，即.

解得，故.

法1：如图所示，建立空间直角坐标系，则, , ，

， ，

所以， .

由（Ⅰ）知平面的法向量.

设平面的法向量

由得

令，得,

所以.

所以.

由图可知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

法2 ：因为⊥平面，

过点作// 交于，

则⊥平面.

因为平面，

所以⊥.

过点作⊥于，连接，

所以⊥平面，因此⊥.

所以二面角的平面角为.

由平面几何知识求得

， ，

所以.

所以cos∠=.

所以二面角的余弦值为.