题目内容
【题目】设椭圆
的左右焦点分别为
，
，在椭圆L上的点
满足
，且
，
，
成等差数列．
（1）求椭圆L的方程；
（2）过点A作两条倾斜角互补的直线
，
，它们与椭圆L的另一个交点分别为B，C，试问直线BC的斜率是否是定值？若是，求出该斜率；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）斜率为
，是定值．
【解析】
（1）由已知
，
，
成等差数列，
，由
结合焦半径公式可得
，进一步求得
，
结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由（1）求得A点坐标，设直线AB的方程为：
，与椭圆方程联立求得B的坐标，同理求得C的坐标，再由斜率公式可得直线BC的斜率为，是定值．
（1）由，，成等差数列，得
，即，
又，
，即，
联立①②，解得，
，
．
椭圆L的方程为
；
（2）取
，得
，
，
直线
，
的倾斜角互补，直线，的斜率互为相反数．
可设直线AB的方程为：，代入椭圆方程，得
，
设
，
，点
在椭圆上，
，
，
，
又直线AC的斜率与AB的斜率互为相反数，在上式中以
代替k，可得
，
，
直线BC的斜率
．
故直线BC的斜率为，是定值．
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