题目内容

【题目】将函数f(x)= sin(2x﹣ )+1的图象向左平移 个单位长度,再向下平移1个单位长度后,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)具有的性质(填入所有正确的序号) ①最大值为 ,图象关于直线x= 对称;②在(﹣ ,0)上单调递增,且为偶函数;③最小正周期为π;④图象关于点( ,0)对称,⑤在(0, )上单调递增,且为奇函数.

【答案】①③⑤
【解析】解:将函数f(x)= sin(2x﹣ )+1的图象向左平移 个单位长度, 得到函数y= sin[2(x+ )﹣ ]+1= sin2x+1的图象;
再向下平移1个单位长度后,得到函数g(x)= sin2x的图象,
∵g(x)= sin2x的最大值为 ,令2x=kπ+ ,k∈Z,可得解得函数的对称轴方程为:x= + ,k∈Z,
当k=1时,可得x= ,即其图象关于直线x= 对称,故①正确;
∵g(x)= sin2x为奇函数,故②错误;
∵最小正周期T= =π,故③正确;
sin(2× )= sin = ,故④错误;
∵令2k ≤2x≤2kπ+ ,k∈Z,可解得:kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,
当k=0时,可得函数在(0, )上单调递增,又为奇函数,故⑤正确.
所以答案是:①③⑤.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.

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