题目内容

已知
a
+
b
+
c
=
0
,且
a
c
的夹角为60°,|
b
|=
3
|
a
|,则cos<
a
b
等于(  )
A.
3
2
B.
1
2
C.-
1
2
D.-
3
2
由题意可得-
b
=
a
+
c
,平方可得 3
a
2
=
a
2
+2
a
c
+
c
2
=
a
2
+2|
a
|•|
c
|•cos60°+
c
2

即2|
a
|
2
=|
a
|
•|
c
|+|
c
|
2
|
a
|
2
-|
c
|
2
=|
a
|
•|
c
|-|
a
|
2

∴(|
a
|+|
c
|
)(|
a
|-|
c
|
)=|
a
|
|
c
|-|
a
|
),
化简可得 (|
a
|-|
c
|
)•(2|
a
|
+|
c
|
)=0,∴|
c
|=|
a
|

故以
a
c
为邻边的平行四边形是一个菱形.
如图所示:设
AB
=
a
AD
=
c
,则
AC
=
a
+
c
,s设
AM
=-
AC

a
c
的夹角等于60°,可得∠BAD=60°,∠BAC=30°,故∠MAB=150°,即
a
b
的夹角等于150°,
∴cos<
a
b
>=cos150°=-
3
2

故选D.
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