题目内容

已知点A(-2,0),B(2,0),直线AG,BG相交于点G,且它们的斜率之积是-
1
4

(Ⅰ)求点G的轨迹Ω的方程;
(Ⅱ)圆x2+y2=4上有一个动点P,且P在x轴的上方,点C(1,0),直线PA交(Ⅰ)中的轨迹Ω于D,连接PB,CD.设直线PB,CD的斜率存在且分别为k1,k2,若k1=λk2,求实数λ的取值范围.
(Ⅰ)设G(x,y),由kAGkBG=-
1
4
得,
y
x+2
y
x-2
=-
1
4
(x≠±2),(3分)
化简得动点G的轨迹Ω的方程为
x2
4
+y2=1
(x≠±2).(6分)
(未注明条件“x≠±2”扣1分)
(Ⅱ)设D(x0,y0),则
∵动点P在圆x2+y2=4上,
∴kPB•kPA=-1,
即k1•kAD=-1,
k1=-
1
kAD
=-
x0+2
y0

k2=
y0
x0-1
(x0≠1),(8分)
由k1=λk2,得-
x0+2
y0
=λ•
y0
x0-1

λ=-
(x0+2)(x0-1)
y20
=-
(x0+2)(x0-1)
1
4
(4-
x20
)
=4•
x0-1
x0-2
=4(1+
1
x0-2
)
,(10分)
由于-2<x0<2且x0≠1,(11分)
解得λ∈(-∞,0)∪(0,3).(13分)
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