题目内容
甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在A、B两个喷雾器中分别配制
成12%和6%的药水各10千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个容量为1千
克的药瓶,他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水,将A中取得的倒入B中,B中取得的倒入A
中,这样操作进行了n次后,A喷雾器中药水的浓度为,B喷雾器中药水的浓度为.
(1)证明:是一个常数;
(2)求与的关系式;
(3)求的表达式.
(1)18;(2);(3) .
解析试题分析:(1)利用n次操作后A和B的农药的和应与开始时农药的重量和相等建立等量关系,证明是一个常数;(2)借助第一问的结论和第n次后A中10千克的药水中农药的重量具有关系式,求解与的关系式;(3)根据第二问的递推关系,采用构造数列的思想进行求解.
试题解析:(1)开始时,A中含有10=1.2千克的农药,B中含有10=0.6千克的农药,,A中含有千克的农药,B中含有千克的农药,它们的和应与开始时农药的重量和相等,从而
(常数). 4分
(2)第n次操作后,A中10千克的药水中农药的重量具有关系式:由(1)知,代入化简得 ① 8分
(3)令,利用待定系数法可求出λ=—9,所以,可知数列是以为首项,为公比的等比数列.
由①,,
由等比数列的通项公式知:,
所以. 12分
考点:1.数列的递推式;(2)数列的通项公式;(3)实际应用问题.
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