题目内容

已知数列中,,前
(Ⅰ)求证:数列是等差数列; (Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)设数列的前项和为,是否存在实数,使得对一切正整数都成立?若存在,求的最小值,若不存在,试说明理由.

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,

解析试题分析:(Ⅰ)对条件式进行变形,得到递推关系得证;(Ⅱ)由条件求出首项和公差即得;(Ⅲ)利用裂项相消法求出,再考察的上确界,可得的最小值.
试题解析:(Ⅰ)因为,所以
所以
整理,得,所以
所以
所以,所以
所以,数列为等差数列。
(Ⅱ),所以即为公差,
所以
(Ⅲ)因为
所以
所以对时,,且当时,,所以要使对一切正整数都成立,只要,所以存在实数使得对一切正整数都成立,的最小值为.
考点:等差数列、数列的求和、不等式、裂项相消法.

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