题目内容
【题目】已知数集具有性质
;对任意的
、
,
,与
两数中至少有一个属于
.
(1)分别判断数集与
是否具有性质
,并说明理由;
(2)证明:,且
;
(3)当时,若
,求集合
.
【答案】(1) 集合具有性质
,集合
不具有性质
.(2)证明见解析.(3)
.
【解析】
(1)利用与
两数中至少有一个属于
.即可判断出结论.
(2)令“,由“
与
两数中至少有一个属于
”可得
属于
.
令,那么
是集合
中某项,
不符合不符合题意,
符合.同理可得:令
可以得到
,令
,
可以得到
,倒序相加即可.
(3)当时,取
,当
时,
,由A具有性质P,
,又
时,
,可得
,则
,又
,可得
,则
,则有
.可得即
是首项为
,公差为
等差数列是首项为0,公差为
等差数列.
解:(1)在集合中,设
①,具有性质
②,具有性质
③,具有性质
④,具有性质
⑤,具有性质
⑥,具有性质
综上所述:集合具有性质
;
在集合中,设
,
①,具有性质
②,具有性质
③,具有性质
④,不具有性质
⑤,具有性质
⑥,具有性质
综上所述:集合不具有性质
.
故集合具有性质
,集合
不具有性质
.
(2) 证明:令,
则与
两数中至少有一个属于
”,
不属于
,
属于
.
令,那么
是集合
中某项,
不符合题意,
可以.
如果是或者
,那么可知
,
那么,只能是等于
,矛盾.
所以令可以得到
,
同理,令,
可以得到
,
倒序相加即可得到
即
(3)当时,取
,当
时,
,
由具有性质
,
,又
时,
,
,
,
则,
,
从而可得,
故,即
,
又
,则,则有
又
,
即是首项为
,公差为
等差数列,
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