题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,侧面底面,底面为矩形,,为的中点,.
(1)求证:;
(2)若与平面所成的角为,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明详见解析;(2).
【解析】
试题分析:本题主要考查线面垂直的判定、二面角的求解等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力和逻辑推理能力.第一问,利用面面垂直的性质先得到线面垂直 平面,从而得到线线垂直,利用线面垂直的判定得平面,最后利用性质定理得到;第二问,法一:利用线面及三角形相似等知识判断出为直线与平面所成的角,再在三角形中利用余弦定理解题;法二:利用向量法先建立空间直角坐标系,利用夹角公式计算二面角的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)证明:连结,因,为的中点
故.
∵侧面 底面
∴ 平面
∴,
∵,∴平面,
∴,
又∵,故 平面
所以.
(Ⅱ)解法一:在矩形中,由(Ⅰ)得,所以,不妨设则.
∵侧面 底面,底面为矩形
∴平面 平面 ≌
∴为直线与平面所成的角
∴=,=,
∴,∴为等边三角形,
设的中点为,连接,则
在中,过作,交于点,则为二面角的一个平面角。
由于=,,所以在中,,
∵
∴
∴
∴
即二面角的余弦值.
解法二:取的中点,以为原点,,,所在的直线分别为,,轴建立空间直角坐标系.不妨设,则,所以,,,,从而,.
设平面的法向量为,
由,得,
可取.
同理,可取平面的一个法向量为.
于是,
所以二面角的余弦值为.
【题目】某小组为了研究昼夜温差对一种稻谷种子发芽情况的影响,他们分别记录了4月1日至4月5日的每天星夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数,得到如下资料:
日期 | 4月1日 | 4月2日 | 4月3日 | 4月4日 | 4月5日 |
温差 | 9 | 10 | 11 | 8 | 12 |
发芽数(颗) | 38 | 30 | 24 | 41 | 17 |
利用散点图,可知线性相关。
(1)求出关于的线性回归方程,若4月6日星夜温差,请根据你求得的线性同归方程预测4月6日这一天实验室每100颗种子中发芽颗数;
(2)若从4月1日 4月5日的五组实验数据中选取2组数据,求这两组恰好是不相邻两天数据的概率.
(公式:)
【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)标准煤的几组对照数据
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
参考公式: