题目内容

【题目】如图,在四棱锥中,侧面底面,底面为矩形,的中点,.

1)求证:

2)若与平面所成的角为,求二面角的余弦值.

【答案】1)证明详见解析;(2.

【解析】

试题分析:本题主要考查线面垂直的判定、二面角的求解等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力和逻辑推理能力.第一问,利用面面垂直的性质先得到线面垂直 平面,从而得到线线垂直,利用线面垂直的判定得平面,最后利用性质定理得到;第二问,法一:利用线面及三角形相似等知识判断出为直线与平面所成的角,再在三角形中利用余弦定理解题;法二:利用向量法先建立空间直角坐标系,利用夹角公式计算二面角的余弦值.

试题解析:()证明:连结,,的中点

.

侧面 底面

平面

平面

,故 平面

所以

)解法一:在矩形中,由()得,所以,不妨设

侧面 底面,底面为矩形

平面 平面

为直线与平面所成的角

==

为等边三角形,

的中点为,连接,则

中,过,交于点,则为二面角的一个平面角。

由于=,所以在中,

即二面角的余弦值

解法二:取的中点,以为原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系.不妨设,则,所以,从而.

设平面的法向量为

,得,

可取

同理,可取平面的一个法向量为

于是

所以二面角的余弦值为

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