Question

3．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3，x≥m}\\{{x}^{2}+4x+2，x＜m}\end{array}\right.$，函数g（x）=f（x）-x恰有三个零点，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [-2，3]
• B． [-1，3]
• C． （-2，3]
• D． （-1，3]

Answer 1

分析 化简g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，}&{x≥m}\\{{x}^{2}+3x+2，}&{x＜m}\end{array}\right.$，而方程-x+3=0的解为3，方程x²+3x+2=0的解为-1，-2；故只需$\left\{\begin{array}{l}{m≤3}\\{-1＜m}\\{-2＜m}\end{array}\right.$，从而可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3，x≥m}\\{{x}^{2}+4x+2，x＜m}\end{array}\right.$，
∴g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，}&{x≥m}\\{{x}^{2}+3x+2，}&{x＜m}\end{array}\right.$，
而方程-x+3=0的解为3，方程x²+3x+2=0的解为-1，-2；
若函数g（x）=f（x）-x恰有三个零点，
则$\left\{\begin{array}{l}{m≤3}\\{-1＜m}\\{-2＜m}\end{array}\right.$，解得-1＜m≤3，即实数m的取值范围是（-1，3]．
故选：D．

点评 本题考查了分段函数的化简与函数零点的判断，属于基础题．