Question

18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形 ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．
（1）证明：AG⊥平面ABCD．
（2）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{9}$，求AG 的长．
（3）判断线段AC上是否存在一点M，使MG∥平面ABF？若存在，求出$\frac{AM}{MC}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用面面垂直的性质定理得到线面垂直．
（2）利用题中的已知条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步以相面的夹角为突破口求出AG的长．
（3）首先假设存在点，进一步利用线面平行建立等量关系，利用法向量求出点的存在．

解答 证明：（1）因为：AE=AF，点G是EF的中点，
所以：AG⊥EF，
又因为：EF∥AD，
所以：AG⊥AD，
由平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG?平面ADEF，
所以：AG⊥平面ABCD．
（2）解：由（1）得：AG⊥平面ABCD．
所以：AG、AD、AB两两垂直，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，四边形ABCD是边长为4的正方形，
且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．
所以：A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
设AG=t（t＞0），
则：E（0，1，t），F（0，-1，t），
所以：$\overrightarrow{BF}=（-4，-1，t）$，$\overrightarrow{AC}=（4，4，0）$，$\overrightarrow{AE}=（0，1，t）$，
设平面ACE的法向量为：$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=0\\ \overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}4x+4y=0\\ y=-tz\end{array}\right.$，
所以：$\overrightarrow{n}=（t，-t，1）$，
直线BF与平面ACE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
所以：$cos＜\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{n}＞$=$\left|\frac{\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{BF}\right|}\right|$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$
解得：t²=1或${t}^{2}=\frac{17}{2}$，
所以：AG=1，或AG=$\frac{\sqrt{34}}{2}$，
（3）解：假设线段AC上存在一点M，使MG∥平面ABF，设$\frac{AM}{AC}=λ$，
则：$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AC}$，
由$\overrightarrow{AC}=（4，4，0）$，
得：$\overrightarrow{AM}=（4λ，4λ，0）$，
设AG=t（t＞0），
则：$\overrightarrow{AG}=（0，0，t）$，
所以：$\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AM}$=（-4λ，-4λ，t），
设平面ABF的法向量为：$\overrightarrow{m}={（x}_{1}{，y}_{1}，{z}_{1}）$，
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{m}=0\\ \overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}=0\end{array}\right.$，
解得：$\overrightarrow{m}=（0，t，1）$，
由于：MG∥平面ABF，
所以：$\overrightarrow{MG}•\overrightarrow{m}=0$，
即：-4λt+t=0，
解得：$λ=\frac{1}{4}$，
所以：$\frac{AM}{AC}=\frac{1}{4}$，此时$\frac{AM}{MC}=\frac{1}{3}$，
即当$\frac{AM}{MC}=\frac{1}{3}$时，MG∥平面ABF．

点评 本题考查的知识要点：面面垂直的性质定理．空间直角坐标系，法向量的应用，线面的夹角的应用，利用向量的共线证明线面平行，存在性问题的应用．主要考查学生的空间想象能力及问题的应用能力．