Question

（本小题满分12分）
如图，棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别为A₁D₁、A₁B₁、BC的中点，

（1）求证：GC₁//面AEF
（2）求：直线GC₁到面AEF的距离。

Answer 1

（1）见解析 （2） a

试题分析：证明：作B₁C₁中点H，连结EH，BH
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，且E、G、H分别为棱A₁D₁、BC、B₁C₁的中点
∴EHAB，BGHC₁                                   1分
∴四边形ABHE和四边形BGC₁H是平行四边形
∴GC₁//BH,BH//AE                                3分
∴GC₁//AE                                           4分
又∵GC₁面AEF，AE面AEF
∴GC₁//面AEF                                        6分
（2）（6分）
解：∵GC₁//面AEF
∴GC₁到面AEF的距离等于点C₁到面AEF的距离。         1分
∵                                 2分
可求得，AE=AF=，EF=，C₁E=C₁F=
∴                                      4分
∴点C₁到面AEF的距离等于点A到面C₁EF的距离          5分
∵AA₁⊥面A₁C₁
∴直线GC₁到面AEF的距离等于a.                         6分

点评：点面距的求解利用了第一问的结论，将点的位置进行了转移，有一定的技巧性