题目内容
【题目】若存在正数x,y,使得,其中e为自然对数的底数,则实数
的取值范围是_____________.
【答案】(,0)
[
,
)
【解析】
根据函数与方程的关系将方程进行转化,利用换元法转化为方程有解,构造函数求函数的导数,利用函数极值和单调性的关系进行求解即可.
由得x+s(y﹣2ex)ln
=0,
即1+s(﹣2e)ln
=0,
即设t=,则t>0,
则条件等价为1+s(t﹣2e)lnt=0,
即(t﹣2e)lnt=有解,
设g(t)=(t﹣2e)lnt,
g′(t)=lnt+1﹣为增函数,
∵g′(e)=lne+1﹣=1+1﹣2=0,
∴当t>e时,g′(t)>0,
当0<t<e时,g′(t)<0,
即当t=e时,函数g(t)取得极小值,为g(e)=(e﹣2e)lne=﹣e,
即g(t)≥g(e)=﹣e,
若(t﹣2e)lnt=有解,
则≥﹣e,即
≤e,
则s<0或s≥,
故答案为:s<0或s≥.
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