题目内容

【题目】若存在正数xy,使得,其中e为自然对数的底数,则实数的取值范围是_____________

【答案】(,0)[)

【解析】

根据函数与方程的关系将方程进行转化,利用换元法转化为方程有解,构造函数求函数的导数,利用函数极值和单调性的关系进行求解即可.

x+s(y﹣2ex)ln=0,

即1+s(﹣2e)ln=0,

即设t=,则t>0,

则条件等价为1+s(t﹣2e)lnt=0,

即(t﹣2e)lnt=有解,

设g(t)=(t﹣2e)lnt,

g′(t)=lnt+1﹣为增函数,

∵g′(e)=lne+1﹣=1+1﹣2=0,

当te时,g′(t)>0,

当0<t<e时,g′(t)<0,

即当t=e时,函数g(t)取得极小值,为g(e)=(e﹣2e)lne=﹣e,

即g(t)≥g(e)=﹣e,

若(t﹣2e)lnt=有解,

﹣e,即≤e,

s<0或s≥

故答案为:s<0或s≥

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