题目内容
【题目】若函数,当
时,函数
有极值
.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的极值;
(3)若关于x的方程有三个零点,求实数k的取值范围.
【答案】(1);(2)函数
的极大值为:
,函数
的极小值为
;(3)
.
【解析】
(1)对函数进行求导,根据题意结合原函数的解析式和导函数的解析式进行求解即可;
(2)根据(1)所求的导函数,判断出函数的单调区间,最后根据极值的定义进行求解即可;
(3)把关于x的方程有三个零点,转化成函数图象的交点个数为3,根据(2)画出函数
的图象和
的图象,利用数形结合进行求解即可.
(1),因为当
时,函数
有极值
,所以有
;
(2)由(1)可知;,令
,得
,
当时,
,因此函数
单调递增;
当时,
,因此函数
单调递减;
当时,
,因此函数
单调递增,所以当
时,函数
有极大值,其值为
,当
时,函数
有极小值,其值为
,因此函数
的极大值为:
,函数
的极小值为
;
(3)因为关于x的方程有三个零点,所以函数
的图象和
的图象有3个交点,函数
的图象和
的图象如下所示:
因此由(2)所求的极值可知:当时,函数
的图象和
的图象有3个交点,即关于x的方程
有三个零点.
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