题目内容
【题目】如图，在斜三棱柱
中，
，四边形
是菱形，
.
（1）求证：
；
（2）若平面
平面
，
，
，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）见证明（2）
【解析】
（1）要证
转证
平面
即证
（2）以射线
，
，
为
轴，
轴，
轴的非负半轴，建立空间直角坐标系
，计算两个半平面的法向量，代入公式，即可得到结果.
（1）证明：取
的中点
，连接
，
，
.
∵
，
∴
.
∵
是菱形，
，
∴
，
.
∴
是正三角形.
∴
.
∵
平面
，
平面，
，
∴平面.
∵
平面，
∴
.
（2）解：∵
，，
∴
是以为底的等腰直角三角形.
∵
，
∴
.
∴
.
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面，
，
∴
平面.
∵平面，
平面，
∴
，
.
再由（1）得，
，两两互相垂直.
分别以射线，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，可得
，
，
，
，
∴
，
.
设平面
的一个法向量为
，则
.
取
，得
，所以
是平面的一个法向量.
同理可得平面
的一个法向量
.
∴
.
∴二面角
的正弦值为
.
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【题目】在对人们休闲方式的调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人.女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动.能否在犯错误的概率不超过2.5%的前提下认为性别与休闲方式是否有关系?
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计时，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差．某高二班主任为了了解学生的偏科情况，对学生数学偏差
（单位：分）与历史偏差
（单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班52位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
数学偏差 | 20 | 15 | 13 | 3 | 2 |
|
|
|
历史偏差 |
|
|
|
|
|
|
|
|
（1）已知与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程
；
（2）若这次考试该班数学平均分为118分，历史平均分为
，试预测数学成绩126分的同学的历史成绩．
附：参考公式与参考数据
，
，
，
．
