题目内容
【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称函数
是
上的有界函数,其中
称为函数的上界.已知函数
.
(1)当时,求函数
在
上的值域,并判断函数
在
上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数在
上是以3为上界的有界函数,求实数
的取值范围;
(3)若,函数
在
上的上界是
,求
的解析式.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)通过判断函数的单调性,求出
的值域,进而可判断
在
上是否为有界函数;
(2)利用题中所给定义,列出不等式,换元,转化为恒成立问题,通过分参求构造函数的最值,就可求得实数的取值范围;
(3)通过分离常数法求的值域,利用新定义进而求得
的解析式。
(1)当时,
,由于
在
上递减,
∴函数
在
上的值域为
,故不存在常数
,使得
成立,∴函数
在
上不是有界函数
(2)在
上是以3为上界的有界函数,即
,令
,则
,即
由得
,
令,
在
上单调递减,所以
由得
,
令,
在
上单调递增,所以
所以;
(3)在
上递减,
,即
,
当时,即当
时,
当时,即当
时,
∴.
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