题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知圆
:
.
⑴若圆的半径为2,圆
与
轴相切且与圆
外切,求圆
的标准方程;
⑵若过原点的直线
与圆
相交于
两点,且
,求直线
的方程.
【答案】(1) 或
(2)
【解析】
(1)设出圆的标准方程为
,由圆
与
轴相切,可得
,由圆
与圆
外切,可得两圆心距等于半径之和,由此解出
,
,
的值,得到圆
的标准方程;
(2)法一:设出点坐标为
,根据
,可得到点
坐标,把
、
两点坐标代入圆
方程,解出
点坐标,即可得到直线
的方程;
法二:设的中点为
,连结
,
,设出直线
的方程,由题求出
的长,利用点到直线的距离即可得求出
值,从而得到直线
的方程
⑴设圆的标准方程为
,故圆心
坐标为
,半径
;
因为圆的半径为2,与
轴相切,所以
①
因为圆与圆
外切
所以,即
②
由①②解得
故圆的标准方程为
或
⑵方法一;设
因为,所以
为
的中点,从而
因为,
都在圆
上
所以
解得或
故直线的方程为:
方法二:设的中点为
,连结
,
设,
因为,所以
在中,
③
在中,
④
由③④解得
由题可知直线的斜率一定存在,设直线
的方程为
则,解得
故直线的方程为
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