题目内容
【题目】某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.
（1）若最大拱高
为6米，则隧道设计的拱宽
至少是多少米？（结果取整数）
（2）如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）
参考数据：
，椭圆的面积公式为
，其中
，
分别为椭圆的长半轴和短半轴长.
【答案】（1）此隧道设计的拱宽
至少是22米（2）当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小
【解析】
（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为
，根据对称性
，将点
代入椭圆方程，即可求解；
（2）由点在椭圆上或在椭圆内，得
，利用基本不等式，即可求出椭圆的面积
的最小值，根据体积公式，即可求解.
（1）建立直角坐标系
如图所示，
则点
在椭圆
上，
将
与点代入椭圆方程，得
，
此时
，
因此隧道设计的拱宽至少是22米.
（2）由椭圆方程，得，
因为
，即
，
，
由于隧道长度为1.5千米，故隧道的土方工程量
，
当
取得最小值时，有
且
，得
，
，
此时
，
.
①若
，此时
，此时
，
②若
，此时
，此时
，
因为
，故当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小.
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