题目内容

【题目】已知.

(1)若上单调递增,求的取值范围;

(2)若有两个极值点,证明:(i);(ii).

【答案】(1)a≤6(2)见解析

【解析】

(1)f’(x)=4ex+2e-2x-a,转化为≥0求解,构造g(x)=4ex+2e-2x-a,求导求g(x)的最小值即可;(2)(ⅰ)由(1)设g(x)的两个零点为<0<,且a>6.令h(x)=g(x)-g(-x),证明h(x)在(0,+∞)上单调递减,当x>0时,h(x)<h(0)=0,进而证明g()-g(-)<0,从而g()<g(-),,得>0;(ⅱ)证明f(x)+f(-x)=-(ex+e-x-2)2+6≤6.可得f()<f(-),所以<6.

(1)f’(x)=4ex+2e-2x-a,

令g(x)=4ex+2e-2x-a,则g’(x)=4ex-4e-2x

显然g’(x)在(-∞,+∞)单调递增,且g(0)=0,

所以当x∈(-∞,0)时,g’(x)<0,g(x)单调递减;

当x∈(0,+∞)时,g’(x)>0,g(x)单调递增.

所以g(x)的最小值为g(0)=6-a,即f’(x)的最小值为6-a,

要使f(x)为单调增函数,则有f’(x)≥0,

所以6-a≥0,故a≤6.

(2)证明:

(ⅰ)由(1)得g(x)的两个零点为<0<,且a>6.

f(x)在(-∞,)和(,+∞)上单调递增,在()上单调递减.

令h(x)=g(x)-g(-x),

则h’(x)=g’(x)+g’(-x)

=4ex-4e-2x+4e-x-4e2x

=4[-(ex+e-x)2+(ex+e-x)+2]

=4[2-(ex+e-x)][1+(ex+e-x)]<0,

所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,当x>0时,h(x)<h(0)=0.

所以g()-g(-)<0,从而g()<g(-),

又g)=g()=0,所以g()<g(-),

因为g(x)在(-∞,0)上单调递减,,-∈(-∞,0),

所以>-,故>0.

(ⅱ)f(x)+f(-x)=4ex-e-2x+4e-x-e2x=-(ex+e-x)2+4(ex+e-x)+2

=-(ex+e-x-2)2+6≤6.

由(ⅰ)得>0,所以>->0,

由f(x)在()上单调递减,可得f()<f(-),

从而有f()+f()<f()+f(-)≤6,

所以f()+f()<6.

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