题目内容
【题目】在四面体A-BCD中,有两条棱的长为,其余棱的长度都为1;
(1)若,且,求二面角A-BC-D的余弦值;
(2)求a的取值范围,使得这样的四面体是存在的;
【答案】(1);(2)0<a;
【解析】
(1)由题意画出图形,作出二面角的平面角,利用余弦定理得答案;
(2)分两条长为a的棱相交与两条长为a的棱互为对棱分析,结合运动思想与极限思想求得每一种情况的a的范围,最后取并集得答案.
(1)如图,
过A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,则∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角,
在等边三角形BCD中,∵BC=CD=BD=1,∴DE,
在等腰三角形ABC中,∵AB=AC,BC=1,∴AE.
在△AED中,由余弦定理得cos∠AED;
(2)当两条长为a的棱相交时,不妨设AB=AC=a,AD=BD=CD=BC=1,
∵面ABC与平面BCD重合且A,D在BC异侧时,AE,此时AB=AC,
面ABC与平面BCD重合且A,D在BC同侧时,AE=1,此时AB=AC.
∴;
当两条长为a的棱互为对棱时,不妨设BC=AD=a,AB=AC=BD=CD=1,BC,AD可以无限趋近于0,
当ABCD为平面四边形时a,
∴0.
综上,若四面体存在,则0<a.
【题目】某网络营销部门为了统计某市网友某日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市当天名网友的网购金额情况,得到如下统计表(如图).
网购金额(单位:千元) | 频数 | 频率 |
3 | 0.05 | |
9 | 0.15 | |
15 | 0.25 | |
18 | 0.30 | |
若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为.
(Ⅰ)试确定的值,并补全频率分布直方图(如图);
(Ⅱ)该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验,从“非网购达人”与“网购达人”中用分层抽样的方法抽取人,若需从这人中随机选取人进行问卷调查.设为选取的人中“网购达人”的人数,求的分布列及其数学期望.