题目内容
【题目】如图,三棱柱的侧面
是边长为
的菱形,
,且
.
(1)求证:;
(2)若,当二面角
为直二面角时,求三棱锥
的体积.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)利用直线与平面垂直的判定,结合三角形全等判定,得到,再次结合三角形全等,即可。(2)法一:建立坐标系,分别计算
的法向量,结合两向量夹角为直角,计算出
的值,然后结合
,即可。法二:设出OA=x,用x分别表示AB,BD,AD,结合
,建立方程,计算x,结合
,即可。
(1)连结,交
于点
,连结
,
因为侧面是菱形,所以
,
又因为,
,
所以平面
,
而平面
,所以
,
因为,所以
,
而,所以
,
.
(2)因为,
,所以
,(法一)以
为坐标原点,
所以直线为
轴,
所以直线为
轴,
所以直线为
轴建立
如图所示空间直角坐标系,设,
则,
,
,
,
,
所以,
,
,
设平面的法向量
,所以
令,则
,
,取
,
设平面的法向量
,所以
令,则
,
,取
,
依题意得,解得
.
所以.
(法二)过作
,连结
,
由(1)知,所以
且
,
所以是二面角
的平面角,依题意得
,
,
所以,
设,则
,
,
又由,
,
所以由,解得
,
所以.
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