Question

【题目】f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（ ）
A.（﹣1，0）∪（1，+∞）
B.（﹣1，0）∪（0，1）
C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设h（x）=f（x）g（x）， 因为当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，
所以当x＜0时，h′（x）＜0，
所以函数y=h（x）在（﹣∞，0）单调递减，
又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以函数y=h（x）为R上的奇函数，
所以函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，
因为f（﹣1）=0，
所以函数y=h（x）的大致图象如下：
所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）
故选A．

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的性质的相关知识，掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集，以及对函数奇偶性的性质的理解，了解在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．