题目内容

【题目】设函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣ 和x=1处取得极值.
(1)求a,b的值及其单调区间;
(2)若对x∈[﹣1,2]不等式f(x)≤c2恒成立,求c的取值范围.

【答案】
(1)解;f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b

,解得,a=﹣ ,b=﹣2,

f′(x)=3x2﹣x﹣2=(3x+2)(x﹣1),

函数f(x)的单调区间如下表:

x

(﹣∞,﹣

(﹣ ,1)

1

(1,+∞)

f′(x)

+

0

0

+

f(x)

极大值

极小值

所以函数f(x)的递增区间是(﹣∞,﹣ )和(1,+∞),递减区间是(﹣ ,1).


(2)解;f(x)=x3 x2﹣2x+c,x∈[﹣1,2],

当x=﹣ 时,f(x)= +c为极大值,而f(2)=2+c,所以f(2)=2+c为最大值.

要使f(x)<c2对x∈[﹣1,2]恒成立,须且只需c2>f(2)=2+c.

解得c<﹣1或c>2


【解析】(1)求出f′(x),因为函数在x=﹣ 与x=1时都取得极值,所以得到f′(﹣ )=0且f′(1)=0联立解得a与b的值,然后把a、b的值代入求得f(x)及f′(x),然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间;(2)根据(1)函数的单调性,由于x∈[﹣1,2]恒成立求出函数的最大值值为f(2),代入求出最大值,然后令f(2)<c2列出不等式,求出c的范围即可
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案.

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