Question

【题目】设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值． （Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b， 因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．
即
解得a=﹣3，b=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；
当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；
当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．
所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．
则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．
因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，
所以9+8c＜c2 ，
解得c＜﹣1或c＞9，
因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．
【解析】（1）依题意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．（2）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立f（x）max＜c2在区间[0，3]上成立，根据导数求出函数在[0，3]上的最大值，进一步求c的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．