Question

【题目】已知函数（为常数），其图像是曲线.

（1）设函数的导函数为，若存在三个实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；

（2）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由于存在唯一的实数，使得与同时成立，则，存在唯一的实数根，即存在唯一的实数根，就把问题转化为求函数最值问题；（2）假设存在常数，依据曲线在点处的切线与曲线交于另一点，曲线在点处的切线，得到关于的方程，有解则存在，无解则不存在.

试题解析：（1），由题意知，消去，得有三解.令，则，分析单调性，可知，即

（2）设，则点处切线方程为，

与曲线： 联立方程组，得，即，所以点的横坐标．由题意知，，，若存在常数，使得，则，即常数使得，所以，解得．故当时，存在常数，使得；当时，不存在常数使得．