题目内容
【题目】已知点为椭圆
上任意一点,直线
与圆
交于
两点,点
为椭圆
的左焦点.
(Ⅰ)求椭圆的离心率及左焦点
的坐标;
(Ⅱ)求证:直线与椭圆
相切;
(Ⅲ)判断是否为定值,并说明理由.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)答案见解析.
【解析】
(1)由题意可得,
,据此确定离心率即可;
(2)由题意可得.分类讨论
和
两种情况证明直线与椭圆相切即可;
(3)设,
,当
时,易得
.当
时,联立直线方程与椭圆方程可得
,结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得
.据此即可证得
为定值
.
(1)由题意,
,
所以离心率,左焦点
.
(2)由题知,,即
.
当时直线
方程为
或
,直线
与椭圆
相切.
当时,由
得
,
即
所以
故直线与椭圆
相切.
(3)设,
,
当时,
,
,
,
,
所以,即
.
当时,由
得
,
则,
,
.
因为
.
所以,即
.
故为定值
.
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