题目内容
【题目】教材曾有介绍:圆上的点
处的切线方程为
。我们将其结论推广:椭圆
上的点
处的切线方程为
,在解本题时可以直接应用。已知,直线
与椭圆
有且只有一个公共点.
(1)求的值;
(2)设为坐标原点,过椭圆
上的两点
、
分别作该椭圆的两条切线
、
,且
与
交于点
。当
变化时,求
面积的最大值;
(3)在(2)的条件下,经过点作直线
与该椭圆
交于
、
两点,在线段
上存在点
,使
成立,试问:点
是否在直线
上,请说明理由.
【答案】(1)(2)
(3)见解析
【解析】
(1)将直线y=x代入椭圆方程,得到x的方程,由直线和椭圆相切的条件:判别式为0,解方程可得a的值;(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),可得切线
,
,
,再将M代入上式,结合两点确定一条直线,可得切点弦方程,AB的方程为x+my=1,将直线与椭圆方程联立,运用韦达定理,求得△OAB的面积,化简整理,运用基本不等式即可得到所求最大值;(3)点
在直线
上,因为
设、
、
,且
,于是
,向量坐标化,得
、
、
、
,将
代入椭圆方程,结合
、
在椭圆上,整理化简得
,即
在直线
上.
(1)联立,整理得
依题意,即
(2)设、
,于是直线
、
的方程分别为
、
将代入
、
的方程得
且
所以直线的方程为
联立
显然,由
,
是该方程的两个实根,有
,
面积
即
当且仅当时,“=”成立,
取得最大值
(3)点在直线
上,因为
设、
、
,且
于是,即
、
、
、
又,
,
,即
在直线
上.
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