题目内容
【题目】已知函数
，其中
为自然对数的底数.
（1）当
时，讨论函数
的单调性；
（2）当
时，求证：对任意的
.
【答案】（1）
在
上是单调递减的函数；（2）详见解析．
【解析】试题分析：（1）求导，根据导函数的取值情况分析
的单调性；（2）令
，求导，分析其单调性，进而研究其取值情况，问题等价于证明
即可得证..
试题解析：（1）当
时， 
， 
，
，∵当
时， 
，∴
，∴
在
上是单调递减的函数；（2）设
， 
， 
，令
， 
则
，当
时， 
，有
，∴
在
上是减函数，即
在
上是减函数，
又∵
， 
，∴
存在唯一的
，使得
， ∴当
时， 
， 
在区间
单调递增；
当
时， 
， 
在区间
单调递减，因此在区间
上
，
∵
，∴
，将其代入上式得
，
令
， 
，则
，即有
， 
，
∵
的对称轴
，∴函数
在区间
上是增函数，且
，
∴
，（ 
），即任意
， 
，∴
，因此任意
， 
.
【题目】随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.
年龄（单位：岁） | [15,25） | [25,35） | [35,45） | [45,55） | [55,65） | [65,75） |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面
列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
（Ⅱ）若从年龄在[25,35）和[55,65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在[55,65）的概率.
参考数据如下：
附临界值表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
的观测值： 
（其中
）
