题目内容
【题目】已知椭圆,离心率为
,两焦点分别为
,过
的直线交椭圆
于
两点,且
的周长为8.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作圆
的切线
交椭圆
于
两点,求弦长
的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
试题分析:(1)求椭圆标准方程,一般利用待定系数法,即根据条件列两个独立方程:一是离心率,二是椭圆定义:
的周长为
,解方程组得
,
(2)涉及弦长问题,一般利用直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理和弦长公式求弦长:设切线
的方程为
,则
,再根据直线与圆相切得
,即
,代入化简得
,最后利用基本不等式求最值
试题解析:(1)由题得:,........................1分
,...............................3分
所以.........................4分
又,所以
,........................5分
即椭圆的方程为
....................6分
(2)由题意知,,设切线
的方程为
,
由,得
...............7分
设,
则.....................8分
,
由过点的直线
与圆
相切得
,即
,
所以....11分
,
当且仅当时,
,所以
的最大值为2...................12分
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