Question

6．设函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$-mlnx
（1）若函数f（x）在定义域上为增函数，求m范围；
（2）在（1）条件下，若函数h（x）=x-lnx-$\frac{1}{e}$，?x₁，x₂∈[1，e]使得f（x₁）≥h（x₂）成立，求m的范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$$-\frac{m}{x}$=$\frac{{x}^{2}-mx+1}{{x}^{2}}$，转化为x²-mx+1＞0，在x＞0时恒成立，根据对钩函数求解即可．
（2）根据导数判断单调性得出f（x）的最大值=f（e）=e-$\frac{1}{e}$-m，h（x）单调递增，h（x）的最小值为h（1）=1-$\frac{1}{e}$，
把问题转化为f（x）的最大值≥h（x）的最小值，求解即可．

解答 解：函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$-mlnx
（1）定义域上为（0，+∞），
f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$$-\frac{m}{x}$=$\frac{{x}^{2}-mx+1}{{x}^{2}}$，
∵函数f（x）在定义域上为增函数，
∴x²-mx+1≥0，在x＞0时恒成立．
即x$+\frac{1}{x}$≥m在x＞0时恒成立，
根据对钩函数得出m≤2，
故m的范围为：m≤2．
（2）函数h（x）=x-lnx-$\frac{1}{e}$，?x₁，x₂∈[1，e]使得f（x₁）≥h（x₂）成，
即f（x）的最大值≥h（x）的最小值，
∵f（x）的最大值=f（e）=e-$\frac{1}{e}$-m，
h′（x）=1$-\frac{1}{x}$＞0，x∈[1，e]，
∴h（x）单调递增，h（x）的最小值为h（1）=1-$\frac{1}{e}$，
∴可以转化为e-$\frac{1}{e}$-m≥1$-\frac{1}{e}$，
即m≤e-1，
m的范围为：m≤e-1．

点评 本题考查导数在求解函数的问题中的应用，存在性问题转化为函数最值的应用，关键是求解导数，判断单调性，属于难题．