Question

1．已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）若存在x₀＞1，满足f（x₀）-k（x₀-1）＜0，求整数k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导函数，把x=e代入导函数中求出的导函数值即为切线方程的斜率，根据切线斜率为3列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）将原来的恒成立问题转化为研究函数的最值问题，研究g（x）=$\frac{x+xlnx}{x-1}$区间（1，+∞）上的最值问题，先求出函数的极值，研究极值点左右的单调性，最后确定出最小值，从而得出k的最大值．

解答 解：（1）因为f（x）=ax+xlnx，
所以f′（x）=a+lnx+1．
因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，
所以f′（e）=3，即a+lne+1=3．
所以a=1．
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，
所以不等式k（x-1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，
即k＜$\frac{x+xlnx}{x-1}$对任意x＞1恒成立．
令g（x）=$\frac{x+xlnx}{x-1}$，
则g′（x）=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），
则h′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0在（1，+∞）上恒成立，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x₀时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函数g（x）=$\frac{x+xlnx}{x-1}$在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
所以[g（x）]min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}+{x}_{0}ln{x}_{0}}{{x}_{0}-1}$=$\frac{{x}_{0}（1+{x}_{0}-2）}{{x}_{0}-1}$=x₀∈（3，4）．
所以k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4）．
故整数k的最大值是3．

点评 此题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，是一道难题．