Question

15．设向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（sin$\frac{3x}{2}$，cos$\frac{3x}{2}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值；
（2）若函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\sqrt{2}$m|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|（m∈R），求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过向量数量积的坐标运算、三角函数的和角公式，计算即可；
（2）通过配方法化简，分类讨论即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（sin$\frac{3x}{2}$，cos$\frac{3x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$）•（sin$\frac{3x}{2}$，cos$\frac{3x}{2}$）
=$cos\frac{x}{2}sin\frac{3x}{2}+sin\frac{x}{2}cos\frac{3x}{2}$
=$sin（\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}）$
=sin2x；
（2）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（sin$\frac{3x}{2}$，cos$\frac{3x}{2}$），∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{2+2sin2x}$，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\sqrt{2}$m|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|
=sin2x$+\sqrt{2}$m$\sqrt{2+2sin2x}$
=sin2x+2m$\sqrt{1+sin2x}$
=1+sin2x+2m$\sqrt{1+sin2x}$+m²-m²-1
=$（\sqrt{1+sin2x}+m）^{2}-{m}^{2}-1$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$\sqrt{1+sin2x}$∈$[1，\sqrt{2}]$，
下面对m的取值情况进行讨论：
①当m∈$[-\sqrt{2}，-1]$时，f（x）的最小值为-m²-1；
②当m＞-1时，f（x）的最小值为f（0）=2m；
③当m＜$-\sqrt{2}$时，f（x）的最小值为f（$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$m+1；
综上所述，当m∈$[-\sqrt{2}，-1]$时f_min（x）=-m²-1，
当m＞-1时，f_min（x）=2m，当m＜$-\sqrt{2}$时f_min（x）=2$\sqrt{2}$m+1．

点评 本题考查向量数量积的坐标运算，三角函数的和角公式，考查分类讨论的思想，属于中档题．