Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆的极坐标方程为.

（1）求圆的直角坐标方程（化为标准方程）及曲线的普通方程；

（2）若圆与曲线的公共弦长为，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为,曲线的普通方程为;(2) .

【解析】分析：（1）由极坐标与直角坐标的互化公式即可得圆的直角坐标方程；消去参数即可得曲线的普通方程；

（2）联立圆C与曲线，因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，即公共弦直线经过圆的圆心，即可得到答案.

详解：(1）由，得，

所以，

即，

故曲线的直角坐标方程为.

曲线的普通方程为

（2）联立，得

因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，

所以直线经过圆的圆心，

则，

又

所以