题目内容
13.(1)已知x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3,求$\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}-3}{{x}^{2}+{x}^{-2}-2}$的值.(2)已知a2x=$\sqrt{2}$-1,求$\frac{{a}^{3x}+{a}^{-3x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$的值.
分析 (1)由x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3,可得x+x-1=$({x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}})^{2}$-2,x2+x-2=(x+x-1)2-2.代入利用“立方和公式”即可得出.
(2)由a2x=$\sqrt{2}$-1,可得a-2x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1.代入利用“立方和公式”即可得出.
解答 解:(1)∵x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3,∴x+x-1=$({x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}})^{2}$-2=7,x2+x-2=(x+x-1)2-2=47.
∴$\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}-3}{{x}^{2}+{x}^{-2}-2}$=$\frac{({x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}})(x-1+{x}^{-1})-3}{{x}^{2}+{x}^{-2}-2}$=$\frac{3×(7-1)-3}{47-2}$=$\frac{1}{3}$.
(2)∵a2x=$\sqrt{2}$-1,∴a-2x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1.
∴$\frac{{a}^{3x}+{a}^{-3x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$=a2x-1+a-2x=$(\sqrt{2}-1)$-1+$(\sqrt{2}+1)$=2$\sqrt{2}$-1.
点评 本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ | C. | $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ | D. | $\frac{1}{3\sqrt{3}}$ |
A. | y=sinx•cosx | B. | y=cosx | C. | y=2sinx | D. | y=$\frac{1-cosx}{1+cosx}$ |