Question

18．已知设函数f（x）是二次函数，且f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x+4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用分段函数表示y=f（|x|），并求该函数在区间[-3，2]上的值域；
（3）若函数y=f（|x|）（x∈[-3，2]）与y=m的图象有且只有一个交点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）然后求出f（x+1），f（x-1）再代入条件f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x+4中可得方程两边对应系数相等即可求出a，b，c的值从而求出二次函数f（x）的解析式．
（2）去掉绝对值，可用分段函数表示y=f（|x|），并求该函数在区间[-3，2]上的值域；
（3）若函数y=f（|x|）（x∈[-3，2]）与y=m的图象有且只有一个交点，根据图象求m的取值范围．

解答 解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x+4
∴a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c=2x²-4x+4
∴2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x+4
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{2b=-4}\\{2a+2c=4}\end{array}\right.$
∴a=1，b=-2，c=1
∴f（x）=x²-2x+1；
（2）y=f（|x|）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$，
∵f（-3）=4，f（0）=1，f（2）=1，f（1）=0，
∴该函数在区间[-3，2]上的值域为[0，4]；
（3）如图所示，∵函数y=f（|x|）（x∈[-3，2]）与y=m的图象有且只有一个交点，
∴1＜m≤4．

点评 本题主要考查一元二次函数解析式的求解．解题的关键是会设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的解析表达式．