题目内容
【题目】已知
是边长为2的正三角形，
是等腰直角三角形.把沿其斜边
翻折到
，使
，设
为
的中点.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
.
【解析】
（1）取
中点
，由勾股定理可得
，又
是等腰直角三角形，可证
，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；
（2）方法一：由（1）知，
、
、
两两垂直，分别以、、为
、
、
轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角，即可求出结果；
解法二：等积法
在
和
中，分别用余弦定理得：中线
长
， 
，又勾股定理可证
①；在
中解得
，在平面
内过
作
②，由等积法得
，于是
.由①②得
、
所成的角（或其补角）就是二面角
的平面角，再根据余弦定理即可求出结果.
（1）证明：取中点，连
、
，由已知易得
，
，于是
，从而，另一方面，是等腰直角三角形，故，且、相交，所以
平面
，于是平面
平面；
（2）由（1）知，、、两两垂直，分别以、、为、、轴，建立空间直角坐标系，由已知得
，
，
，
，
.于是，
，
，
，设平面
的法向量是
，则
解得
，
所以
，同理平面
的法向量
，
设二面角为
，则
.
（2）解法二：等积法
由于
为
的中点，且设
，在和中，分别用余弦定理得：中线长，同理，从而
是直角三角形，且①.另一方面在中解得，在平面内过作②，由等积法得，于是.由①②得、所成的角（或其补角）就是二面角的平面角.由
，得
，设二面角的度数为，于是
.
【题目】如图，在四棱锥C﹣ABNM中，四边形ABNM的边长均为2，△ABC为正三角形，MB
，MB⊥NC，E，F分别为MN，AC中点．
（Ⅰ）证明：MB⊥AC；
（Ⅱ）求直线EF与平面MBC所成角的正弦值．
【题目】某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县统计了100名基层干部走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，统计结果见下表.
走访数量区间 | 频数 | 频率 |
| b | |
| 10 | |
| 38 | |
| a | 0.27 |
| 9 | |
总计 | 100 | 1.00 |
（1）求a与b的值；
（2）根据表中数据，估计这100名基层干部走访数量的中位数（精确到个位）；
（3）如果把走访贫困户不少于35户视为“工作出色”，按照分层抽样，从“工作出色”的基层干部中抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求其中有1人走访贫困户不少于45户的概率.
【题目】华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢.据调查数据显示，2019年度华为手机（含荣耀）在中国市场占有率接近
！小明为了考查购买新手机时选择华为是否与年龄有一定关系，于是随机调查100个2019年购买新手机的人，得到如下不完整的列表.定义30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”.
购买华为 | 购买其他 | 总计 | |
年轻用户 | 28 | ||
非年轻用户 | 24 | 60 | |
总计 |
附：
.
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（1）将列表填充完整，并判断是否有
的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？
（2）若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出6个人，再随机抽2人，求恰好抽到的两人都是非年轻用户的概率.