题目内容
【题目】如图,在四棱锥C﹣ABNM中,四边形ABNM的边长均为2,△ABC为正三角形,MB,MB⊥NC,E,F分别为MN,AC中点.
(Ⅰ)证明:MB⊥AC;
(Ⅱ)求直线EF与平面MBC所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)连接AN,由题意可得,结合
,利用线面垂直的判定可得
平面
,利用线面垂直的性质即可得证;
(Ⅱ)取BC的中点G,连接FG,NG,MG,证明MG与EF相交,记交点为O,则O为MG与EF的中点.则直线EF与平面MBC所成角,就是FO与平面MBC所成角,记为θ.由已知求解三角形可得OF,记F到平面MBC的距离为h,利用等体积法求得h,则,即可得解.
(Ⅰ)证明:连接AN,∵四边形ABNM的边长均为2,∴,
∵,且
,∴
平面
,
∵平面
,∴
;
(Ⅱ)取BC的中点G,连接FG,NG,MG,
显然,且
,即
,
,
∴MG与EF相交,
记交点为O,则O为MG与EF的中点.
∴直线EF与平面MBC所成角,就是FO与平面MBC所成角,记为θ,
由(Ⅰ)知,又
为正三角形,∴
,且
.
∵,∴
平面MBF,而
平面MBF,
则,得
,
,
∵,
,∴
,
,
∴平面ABC,又
平面ABC ,
,
∴,可得
.
∴,
记F到平面MBC的距离为h,
在中,∵
,
,∴
,
∴,得
.
故.
所以直线EF与平面MBC所成角的正弦值为.

【题目】追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量,某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数()的检测数据,结果统计如下:
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 | |
天数 | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 20 |
(1)从空气质量指数属于,
的天数中任取3天,求这3天中空气质量至少有2天为优的概率.
(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失(单位:元)与空气质量指数
的关系式为
假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为
,
,
,
,
,
,9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.
(i)记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为元,求
的分布列;
(ii)试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元?说明你的理由.