题目内容
已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点,分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C、D两点.
(1)证明: 点C、D和原点O在同一条直线上;
(2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标.
(1)证明: 点C、D和原点O在同一条直线上;
(2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标.
(1) 证明略(2)点A的坐标为(,log8)
设点A、B的横坐标分别为x1、x2,
由题意知: x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.
因为A、B在过点O的直线上,
所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),
由于log2x1==3log8x2,
所以OC的斜率: k1=,
OD的斜率: k2=,
由此可知: k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.
(2)解: 由BC平行于x轴知:log2x1=log8x2
即 log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1,
由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.
又x1>1,∴x1=,则点A的坐标为(,log8).
由题意知: x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.
因为A、B在过点O的直线上,
所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),
由于log2x1==3log8x2,
所以OC的斜率: k1=,
OD的斜率: k2=,
由此可知: k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.
(2)解: 由BC平行于x轴知:log2x1=log8x2
即 log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1,
由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.
又x1>1,∴x1=,则点A的坐标为(,log8).
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