Question

17．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sinA=sinB（sinc+cosc）．
（1）求∠B；
（2）b=1，求S_△ABC最大值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦函数公式及三角形内角和定理化简已知可得sinB=cosB，由B∈（0，π），即可求得B的值．
（2）由余弦定理可得${a^2}+{c^2}-2accos\frac{π}{4}=1$，利用基本不等式可得$ac≤\frac{1}{{2-\sqrt{2}}}$，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）sinB（sinC+cosC）=sinBsinC+sinBcosC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinC≠0，解得sinB=cosB，由B∈（0，π），
∴$∠B=\frac{π}{4}$．
（2）b=1，$∠B=\frac{π}{4}$，
∴${a^2}+{c^2}-2accos\frac{π}{4}=1$，
∵a²+c²≥2ac，
∴$ac≤\frac{1}{{2-\sqrt{2}}}$，
∴$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{2}}}{4}ac≤\frac{{\sqrt{2}+1}}{4}$，
∴S_△ABC最大值为$\frac{{\sqrt{2}+1}}{4}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式及三角形内角和定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式的应用，属于中档题．