Question

9．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点．
（2）若定点P（1，1）分弦AB为$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，求此直线l 的方程．
（3）求弦AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）将直线l的方程变形提出m，根据直线方程的斜截式，求出直线恒过点（1，1），将（1，1）代入圆方程的左边，判断出点在圆内部，得证．
（2）作出辅助线，利用圆的弦割线定理求出PA的长，求出A的坐标，又直线过（1，0）点，利用直线方程的两点式写出直线的方程．
（3）将直线l的方程与圆的方程联立，利用韦达定理得到两个交点坐标的和，利用中点坐标公式求出AB的中点，消去m得到弦AB的中点M的轨迹方程．

解答 （1）证明：∵直线L：mx-y+1-m=0即为y=m（x-1）+1
∴直线l恒过（1，1）
∵1²+（1-1）²=1＜5
∴（1，1）在圆C：x²+（y-1）²=5的内部
综上，对任意的m∈R，直线L与圆C一定有两个不同的交点
（2）解：∵直线l：mx-y+1-m=0，y-1=m（x-1），
∴直线l过定点（1，1）．
作平行于x轴，且过圆心（0，1）的直线，交圆于MN两点，显然，PM=$\sqrt{5}$-1，PN=$\sqrt{5}$+1，
由弦割线定理，PA•PB=PA•2PA=2PA²=PM•PN=4
∴PA²=2．
∵PA²=（x-1）²+（y-1）²=2，
又因为A点在圆上，A点坐标满足圆方程x²+（y-1）²=5，
联立方程组，解得，x=2，
代入解得，y=0或2，
∴A（2，0）或A（2，2）．
由两点确定直线，得，y-1=$\frac{0-1}{2-1}$•（x-1）=-（x-1），得y+x-2=0直线一条；
y-1=$\frac{2-1}{2-1}$•（x-1）=x-1，得，y=x另一条直线．
∴此时L的方程为x-y=0或x+y-2=0
（3）解：圆C：x²+（y-1）²=5  ①
直线l：mx-y+1-m=0②
联立①②得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{2（{m}^{2}-m+1）}{1+{m}^{2}}$
设弦AB的中点M为（x，y）则有x=$\frac{{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，y=$\frac{{m}^{2}-m+1}{1+{m}^{2}}$
则y=1-$\frac{m}{1+{m}^{2}}$，
∴$\frac{m}{1+{m}^{2}}$=1-y，$\frac{m}{1+{m}^{2}}$=x两式相除得，m=$\frac{x}{1-y}$
代入第一式即消去m得到x²+y²-x-2y+1=0
故弦AB的中点M的轨迹方程为x²+y²-x-2y+1=0 （x≠1）

点评 判断直线与圆的位置关系，一般利用圆心与直线的距离与半径的大小关系加以判断，有时也可转化为直线恒过的点圆圆的位置关系；解决直线与圆的相交的弦的中点问题，一般将直线与圆的方程联立，利用韦达定理．