Question

6．已知α为锐角，cos（α$+\frac{4n+1}{4}$π）=$\frac{1}{2}$，（n∈Z），求cos（α-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 对n的奇偶性分类，由诱导公式和已知式子可得cos（α+$\frac{π}{4}$），再由同角三角函数基本关系可得sin（α+$\frac{π}{4}$），再由诱导公式可得cos（α-$\frac{π}{4}$）=sin（α+$\frac{π}{4}$），代入可得答案．

解答 解：当n为奇数时，由诱导公式可得cos（α$+\frac{4n+1}{4}$π）=cos（nπ+α+$\frac{π}{4}$）=-cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∴cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{2}$，结合α为锐角可得sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos（α-$\frac{π}{4}$）=cos[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{2}$]=cos[$\frac{π}{2}$-（α+$\frac{π}{4}$）]=sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当n为偶数时，由诱导公式可得cos（α$+\frac{4n+1}{4}$π）=cos（nπ+α+$\frac{π}{4}$）=cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∴cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，结合α为锐角可得sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos（α-$\frac{π}{4}$）=cos[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{2}$]=cos[$\frac{π}{2}$-（α+$\frac{π}{4}$）]=sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
综上可得cos（α-$\frac{π}{4}$）的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$

点评 本题考查三角函数公式，涉及诱导公式和同角三角函数基本关系和分类讨论的思想，属中档题．