题目内容
设函数
.
（1）若
，求函数
的单调区间；
（2）若函数
在区间
上是减函数，求实数
的取值范围；
（3）过坐标原点
作曲线
的切线，证明:切点的横坐标为
.
（1）减区间为
,增区间
，（2）
，（3）详见解析.
解析试题分析：（1）利用导数求函数单调性，有四个步骤.一是求出定义域：
，二是求导数
，三是分析导数符号变化情况：
，四是根据导数符号写出对应单调区间：减区间为,增区间.（2）已知函数单调性研究参数范围问题，通常转化为恒成立问题. 因为函数在区间上是减函数，所以
对任意
恒成立.而恒成立问题又利用变量分离法解决,即
对任意恒成立. 因此
（3）求切点问题，从设切点
出发，利用切点处导数等于切线斜率列等量关系：
.解这类方程，仍需利用导数分析其单调性，利用零点存在定理解决.
试题解析：解: （1）时, 
， 
， 1分
，
的减区间为,增区间. 3分
（2）
在区间
上是减函数，
对任意恒成立，
即
对任意恒成立， 5分
对任意恒成立，
令
，
， 7分
易知
在单调递减，
.
. 8分
（3）设切点为，
，
切线的斜率
，又切线过原点
，
，
存在性：
满足方程，
所以，是方程的根. 11分
再证唯一性：设
，
，
在
单调递增，且
，
所以方程有唯一解.
综上，切点的横坐标为. 13分
考点：利用导数求函数性质
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在半圆上），设
，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．
的值，使体积V最大；
，
的单调区间；
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围； 
的方程
在区间
上恰好有两个相异的实根，求实数
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.
.
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，
，
. 
，求
的单调递增区间；
与
轴相切于异于原点的一点，且
，求
的值.