题目内容
一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形
（如图所示，其中O为圆心，
在半圆上），设
，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．
（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求
的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
（1）
，（2）
，（3）当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．
解析试题分析：（1）解答实际问题关键读懂题意.本题所求体积为直四棱柱体积，体积为高与底面积的乘积.高为圆木的长，底面积为梯形的面积.利用角表示出梯形上下底及高，就可得到所求关系式. （2）先求出函数的导数
，再根据导数为零时，定义区间导数值的正负讨论其单调性，研究其图像变化规律，确定其极值、最值.本题函数先增后减，在时，取极大值，也是最大值.（3）本题实质是求表面积的最大值，并判断取最大值时是否成立.首先先建立表面积的函数关系式.表面积由两部分组成，一是底面积，二是侧面积. 底面积为梯形的面积，有两个. 侧面积为梯形周长与圆木的长的乘积.再利用导数求出其最大值及取最大值时角的取值.
试题解析：（1）梯形的面积
=
，
． 2分
体积． 3分
（2）
．
令
，得
，或
（舍）．∵，∴． 5分
当
时，
，
为增函数；
当
时，
，
为减函数． 7分
∴当时，体积V最大． 8分
（3）木梁的侧面积
=
，． 
=
，． 10分
设
，．∵
，
∴当
，即时，
最大． 12分
又由（2）知时，取得最大值，
所以时，木梁的表面积S最大． 13分
综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分
考点：利用导数求函数最值
练习册系列答案
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（e为自然对数的底数）.
处的切线为
，若
，求a的值；
恒成立，试确定
的取值范围；
上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.
，
．
的单调区间；
的最小值为
，求
的值．
的前
项和为
，对一切正整数
都在函数
的图像上，且过点
.
，等差数列
的任一项
，其中
是
中所有元素的最小数，
，求
，
，其中
．
是函数
的极值点，求实数
的值；
（
为自然对数的底数）都有
≥
成立，求实数
.
，求函数
的单调区间；
在区间
上是减函数，求实数
的取值范围；
作曲线
的切线，证明:切点的横坐标为
.
（
），其中
．
与
在点
处相交且有相同的切线，求
的值；
，若对于任意的
，函数
在区间
上的值恒为负数，求
的取值范围．
．
时，求
的最大值；
恒成立；
．（参考数据：
）