题目内容
已知函数
(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程;
(2)若g(x)=f(x)一有两个不同的极值点.其极小值为M,试比较2M与一3的大小,并说明理由;
(3)设q>p>2,求证:当x∈(p,q)时,.
(1);(2);(3)证明过程详见解析.
解析试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求曲线的切线方程等数学知识,考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问,先对求导,将代入到中得到切线的斜率,将代入到中得到切点的纵坐标,最后利用点斜式,直接写出切线方程;第二问,对求导,由于有2个不同的极值点,所以有2个不同的根,即在有两个不同的根,所以且,可以解出a的取值范围,所以根据的单调性判断出为极小值,通过函数的单调性求最值,从而比较大小;第三问,用分析法证明分析出只须证,构造函数,利用函数的单调性证明,同理再证明,最后利用不等式的传递性得到所证不等式.
试题解析:(1)易知,∴
∴所求的切线方程为,即 4分
(2)易知,
∵有两个不同的极值点
∴在有两个不同的根
则且 解得 6分
在递增,递减,递增
∴的极小值
又∵
∴
则,∴在递减
∴,故 9分
(3)先证明:当时,
即证:
只需证:
事实上,设
易得,∴在内递增
∴ 即原式成立 12分
同理可以证明当时,
综上当时,. 14分
考点:1.利用导数判断函数的单调性;2.利用导数求函数的极值和最值;3.利用导数求曲线的切线.
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