题目内容
一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形
（如图所示，其中O为圆心，
在半圆上），设
，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．
（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求
的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
(1)
；(2)
；（3）是.
解析试题分析：（1）本题求直四棱柱的体积，关键是求底面面积，我们要用底面半径1和
表示出等腰梯形的上底
和高，从图形中可知高为
，而
，因此面积易求，体积也可得出；（2）我们在（1）中求出，这里
的最大值可利用导数知识求解，求出
，解出方程
在
上的解，然后考察在解
的两边的正负性，确定是最大值点，实质上对应用题来讲，导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点）；（3），上（2）我们可能把木梁的表面积用表示出来，
，由于
在体积中出现，因此我们可求
的最大值，这里可不用导数来求，因为
，可借助二次函数知识求得最大值，如果这里
取最大值时的和取最大值的取值相同，则结论就是肯定的.
试题解析：（1）梯形的面积
=
，
． 2分
体积． 3分
（2）
．
令
，得
，或
（舍）．
∵，∴
． 5分
当
时，
，
为增函数；
当
时，
，
为减函数． 7分
∴当时，体积V最大． 8分
（3）木梁的侧面积
=
，．
=
，． 10分
设
，．∵
，
∴当
，即时，
最大． 12分
又由（2）知时，取得最大值，
所以时，木梁的表面积S最大． 13分
综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分
考点：（1）函数解析式；（2）用导数求最值；（3）四棱柱的表面积及其最值.
练习册系列答案
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．
与
的反函数的图象相切，求实数k的值;
，讨论曲线
与曲线
公共点的个数;
，比较
与
的大小，并说明理由．
，它的导函数的图象与直线
平行.
的解析式；
的图象与直线
有三个公共点，求m的取值范围．
，其中a为常数．
时，求
的最大值；
，求a的值；
=
是否有实数解．
（e为自然对数的底数）.
处的切线为
，若
，求a的值；
恒成立，试确定
的取值范围；
上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.
.
在点
处的切线与直线
平行，求实数
的值；
在
处取得极小值，且
，求实数
的取值范围.
，
.
在点
处的切线平行于
轴，求
的值；
时，若对
，
恒成立，求实数
的取值范围；
，在（1）的条件下，证明当
时，对任意两个不相等的正数
、
，有
.
上给定曲线
，试在此区间内确定点
的值，使图中所给阴影部分的面积
与
之和最小．
.
，求函数
的单调区间；
在区间
上是减函数，求实数
的取值范围；
作曲线
的切线，证明:切点的横坐标为
.