题目内容
设函数,
(1)求函数的单调区间;
(2)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根,求实数的取值范围.
(1)见解析(2)>e22(3)a的取值范围是:2-ln4<a≤3-ln9,即2-2ln2<a≤3-2ln3
解析试题分析:(1)确定函数定义域,求导函数,利用导数的正负,可得f(x)的单调区间;
(2)确定函数在上的单调性,从而可得函数的最大值,不等式,即可求得实数m的取值范围;
(3)方程f(x)=x2+x+a,即x-a+1-ln(1+x)2=0,记g(x)=x-a+1-ln(1+x)2.求导函数,确定函数在区间[0,2]上的单调性,为使f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰好有两个相异的实根,只须g(x)=0在[0,1]和(1,2]上各有一个实根,从而可建立不等式,由此可求实数a的取值范围.
试题解析:依题意知,
又因为 1分
(1)令
或x>0,所以f(x)的单调增区间为(-2,-1)和(0,+∞) 3分
令
的单调减区间(1,0)和(∞,2) 5分
(2)令(舍) 6分
8分
因此可得:f(x)<恒成立时,>e22 9分
(3)原题可转化为方程=(1+x)-ln(1+x)2在区间[0,2]上恰好有两个相异实根 10分
11分
且2-ln4<3-ln9<1,∴的最大值是1,的最小值是2-ln4 13分
所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时,实数a的取值范围是:2-ln4<a≤3-ln9,即2-2ln2<a≤3-2ln3 14分
考点:1.利用导数研究函数的单调性;2.函数与方程的综合运用;3.利用导数求闭区间上函数的最值.