Question

9．已知tanα=2，求下列各式的值
（1）$\frac{1}{{2sinxcosx+{{cos}^2}x}}$；
（2）sin²α+6sinαcosα-cos²α．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数关系式化简可得原式=$\frac{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}{2sinxcosx+co{s}^{2}x}$=$\frac{ta{n}^{2}x+1}{2tanx+1}$，代入即可得解．
（2）利用同角三角函数关系式化简可得原式=$\frac{si{n}^{2}α+6sinαcosα-co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+6tanα-1}{ta{n}^{2}α+1}$即可由已知求值．

解答 解：（1）∵tanα=2，
∴$\frac{1}{{2sinxcosx+{{cos}^2}x}}$=$\frac{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}{2sinxcosx+co{s}^{2}x}$=$\frac{ta{n}^{2}x+1}{2tanx+1}$=$\frac{5}{5}$=1．
（2）sin²α+6sinαcosα-cos²α=$\frac{si{n}^{2}α+6sinαcosα-co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+6tanα-1}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{4+12-1}{4+1}$=3．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式在化简求值中的应用，属于基础题．