Question

2．已知f（x）=m^x（m为常数，m＞0且m≠1）．设$f（{a_1}），f（{a_2}），…，f（{a_n}）（n∈{N^*}）$是首项为4，公比为2的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），且数列{b_n}的前n项和S_n，当$m=\sqrt{2}$时，求S_n；
（3）若c_n=a_n•f（n），问是否存在实数m，使得数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过求出f（a_n）的通项公式可知${m^{a_n}}={2^{n+1}}$，并对其两边同时取对数即得结论；
（2）通过（1）可知数列{b_n}的通项公式，进而当$m=\sqrt{2}$时利用错位相减法计算即得结论；
（3）通过（1）可知数列{c_n}的通项公式，进而只需证明$（{n+1}）{m^n}{log_m}2＜（{n+2}）{m^{n+1}}{log_m}2$对一切n≥1成立，分m＞1、0＜m＜1两种情况讨论即可．

解答 解：（1）由题意$f（{a_n}）=4×{2^{n-1}}={2^{n+1}}$，即${m^{a_n}}={2^{n+1}}$，
∴${a_n}={log_m}{2^{n+1}}$…（3分）
（2）由题意${b_n}={a_n}f（{a_n}）=（{{{log}_m}{2^{n+1}}}）×{2^{n+1}}=（{n+1}）{2^{n+1}}{log_m}2$，
当$m=\sqrt{2}$时，${b_n}=（{n+1}）{2^{n+1}}{log_m}2=（{n+1}）{2^{n+1}}{log_{\sqrt{2}}}2=（{n+1}）{2^{n+2}}$．
∴${S_n}=2•{2^3}+3•{2^4}+4•{2^5}+…+（n+1）•{2^{n+2}}$①…（5分）
①式两端同乘以2，得：
$2{S_n}=2•{2^4}+3•{2^5}+4•{2^6}+…+n•{2^{n+2}}+（n+1）•{2^{n+3}}$②
②-①并整理，得：
${S_n}=-2•{2^3}-{2^4}-{2^5}-{2^6}-…-{2^{n+2}}+（n+1）•{2^{n+3}}$
=-2³-[2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²]+（n+1）•2ⁿ⁺³
=$-{2^3}-\frac{{{2^3}[1-{2^n}]}}{1-2}+（n+1）•{2^{n+3}}$
=-2³+2³（1-2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺³
=n•2ⁿ⁺³…（9分）
（3）结论：当$0＜m＜\frac{2}{3}$或m＞1时，使得数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项．
理由如下：
由题意${c_n}={a_n}f（n）=（{{{log}_m}{2^{n+1}}}）×{m^n}=（{n+1}）{m^n}{log_m}2$，
要使c_n＜c_n+1对一切n≥1成立，
即$（{n+1}）{m^n}{log_m}2＜（{n+2}）{m^{n+1}}{log_m}2$对一切n≥1成立，
①当m＞1时，（n+1）＜（n+2）m对一切n≥1成立；              …（12分）
②当0＜m＜1时，（n+1）＞（n+2）m，
∴$m＜\frac{n+1}{n+2}$一切n≥1成立，
即$m＜\frac{2}{3}$，考虑到0＜m＜1，
∴$0＜m＜\frac{2}{3}$．                       …（15分）
综上，当$0＜m＜\frac{2}{3}$或m＞1时，数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项． …（16分）

点评 本题是一道关于数列的综合题，涉及对数的运算、数列的单调性、数列的通项及前n项和等基础知识，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．